Russell, antinomia di

Russell, antinomia di

Russell, antinomia di contraddizione intrinseca della teoria ingenua degli → insiemi di G. Cantor, quando a essa si applica il principio di → comprensione, enunciato da G. Frege. L’antinomia fu individuata da B. Russell nel 1902 e comunicata a Frege in una lettera. L’antinomia di Russell muove dalla possibilità di considerare per una qualsiasi proprietà P l’insieme di tutti gli elementi che la soddisfano; per esempio, nell’insieme dei numeri reali è possibile considerare «l’insieme di tutti i reali maggiori di 7» o nell’insieme delle figure piane «l’insieme di tutti i triangoli isosceli» ecc. Seguendo questo principio di comprensione, Russell considerò «l’insieme A di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elementi». Ci sono infatti insiemi che contengono sé stessi come elementi (per esempio l’insieme di tutti i concetti astratti è a sua volta un concetto astratto) e insiemi che non contengono sé stessi come elementi (per esempio l’insieme di tutti i numeri reali non è un numero reale). L’antinomia consiste nel chiedersi se l’insieme A contenga o meno sé stesso. Infatti, se A contiene sé stesso allora A è, per definizione, uno degli insiemi che non contengono sé stessi come elemento, e quindi non contiene sé stesso. Se invece A non contiene sé stesso allora non è uno degli insiemi che non contengono sé stessi e quindi contiene sé stesso. L’antinomia di Russell è spesso citata come paradosso di Russell, nonostante il termine antinomia evidenzi maggiormente l’irriducibilità della contraddizione che essa esplicita. Per esemplificare tale contraddizione della teoria degli insiemi, Russell ideò nel 1918 il cosiddetto paradosso del barbiere: in un villaggio c’è un solo barbiere il quale ha ricevuto l’ordine di radere tutti e solo coloro che non si radono da soli; il paradosso consiste nel chiedersi se il barbiere rada o meno sé stesso. Se il barbiere rade sé stesso allora non può radersi per l’ordine che ha ricevuto; se egli non rade sé stesso allora, per lo stesso motivo, deve radersi. In realtà, il paradosso del barbiere non conduce a una vera e propria contraddizione, ma evidenzia l’incongruenza dell’ordine ricevuto che, pur apparendo come plausibile, non può essere eseguito. Per questo si preferisce distinguere tra il paradosso del barbiere e l’antinomia di Russell, così accentuando la contraddittorietà intrinseca di quest’ultima, anche se entrambi fondano la propria struttura sull’→ autoreferenzialità, cioè riguardano oggetti che si riferiscono a sé stessi.