analisi matematico-statistica

analisi matematico-statistica

Complesso di strumenti e tecniche matematiche utilizzati nell’analisi statistica dei dati. L’a. m.-s. è parte integrante della teoria statistica moderna, che si avvale di risultati matematici ottenuti principalmente nel campo del calcolo delle probabilità, ma anche in quello dell’algebra lineare e dell’analisi differenziale.

Nascita e sviluppo

Storicamente, l’a. statistica è nata dall’attività di raccolta (➔ rilevazione) e descrizione dei dati, quantitativi e qualitativi. La rilevazione può essere totale (➔ censimento) oppure campionaria (➔ campione statistico). A questa fase descrittiva, la statistica moderna ha affiancato una attività di interpretazione dei dati, attraverso un processo di inferenza che permette di elaborare stime e testare ipotesi, con un determinato grado di incertezza, grazie all’applicazione della teoria matematica del calcolo delle probabilità. Secondo questa classificazione, quindi, la statistica si divide rispettivamente in descrittiva e inferenziale (➔ inferenza statistica). L’evoluzione dei teoremi centrali del limite (➔ limite, teoremi centrali del) e del metodo dei minimi quadrati (➔ minimi quadrati, metodo dei) illustra in modo esemplare il successo dell’applicazione della matematica nell’interpretazione dei dati. I teoremi centrali del limite furono derivati dallo studio della probabilità con cui gli errori di misurazione sono contenuti, in media, entro certi limiti e dall’ipotesi che essi si distribuiscano in modo ‘normale’ (➔ gaussiana, distribuzione). Da questa teoria prese avvio lo studio di P.S. Laplace della distribuzione probabilistica degli errori (➔ Laplace, distribuzione di), derivanti da misurazioni ripetute su cui si fondò a sua volta la prima dimostrazione del metodo dei minimi quadrati, da parte di C.F. Gauss. La sintesi di Gauss e Laplace combinò, dunque, il principio dei minimi quadrati con l’approccio probabilistico, applicato all’esame dell’incertezza e al metodo di inferenza sul processo generatore dei dati.

Applicazioni

Di conseguenza, la teoria statistica contemporanea è strettamente connessa alla matematica, tanto da poter essere classificata come una sua branca. Tuttavia, essa mantiene caratteristiche distintive, originate dal rapporto con i dati: per es., l’analisi descrittiva e i metodi di inferenza statistica. Questo approccio deriva dalla necessità storica di affrontare problemi pratici: prima in astronomia e nelle indagini a campione, poi nelle scienze sociali, come l’economia e la demografia. In questo senso, la statistica è stata definita come la scienza dello studio dei dati.

L’a. m.-s. è applicata anche in fisica, nello studio delle proprietà di sistemi composti da un numero enorme di componenti elementari. Si può allora cercare di pervenire alla determinazione dei comportamenti medi del sistema, per es. negli stati di equilibrio termodinamico, con i metodi propri della meccanica statistica.