trigonometria

trigonometria

trigonometrìa [Lat. scient. trigonometria (B. Pitiscus, 1595), comp. del gr. trígonon "triangolo" e -metría "-metria"] [ALG] [ANM] (a) In senso stretto, la geometria del triangolo, cioè la parte della geometria che s'occupa di tale figura e delle relazioni tra i suoi elementi (lati, angoli, mediane, ecc.) e in partic. della determinazione di uno di essi quando siano noti altri, mediante cosiddette formule trigonometriche, tradizionalmente divisa in t. piana e t. sferica a seconda che si considerino triangoli piani oppure sferici (quando si parla di t. senza ulteriori qualificazioni s'intende sempre la t. piana). (b) In senso più ampio, lo studio e l'utilizzazione delle funzioni trigonometriche (→ trigonometrico).Trigonometria pianaSono elencate, alfabeticamente, le relazioni e le formule che danno gli elementi più notevoli di un triangolo, e poi altre formule e teoremi sui triangoli. Con rifer. al triangolo ABC, si sono indicati (fig. 1) con α, β, γ, le ampiezze degli angoli convessi BAC, ABC, ACB, e con a, b, c le lunghezze dei lati (rispettiv. opposti) BC, AC, AB; il perimetro (a+b+c) è indicato con 2p; O e R denotano il centro e il raggio del cerchio circoscritto, e così I e r il centro e il raggio del cerchio inscritto; con ra si è indicato (fig. 2) il raggio del cerchio exinscritto contenuto nell'angolo α (similmente rb e rc); infine (fig. 3) ha, ma, sa indicano rispettiv. l'altezza, la bisettrice e la mediana uscenti dal vertice A. (a) Altezze di un triangolo. L'altezza ha relativa al lato a è espressa da ha=b sinγ=c sinβ; analogamente per hb e hc; è (1/ha)+ (1/hb)+(1/hc)=1/r. (b) Area S di un triangolo. È S=(ab sinγ)/2, e analogamente permutando; è anche S=2R2 sinα sinβ sinγ=[p(p-a)(p-b)(p-c)]1/2. (c) Bisettrice di un angolo. Quella, sa (fig. 3), relativa all'angolo α di vertice A vale sa=2bc cos(α/2)/(b+c); analogamente, permutando, per le altre due. (d) Formule di Briggs: sin(α/2)= [(p-a)(p-c)/(bc)]1/2, cos(α/2)=[p(p-a)/(bc)]1/2, analogamente, permutando, per β e γ. (e) Formule di Delambre, o di Mollweide: sin[(α-β)/2]= [(a-b) cos(γ/2)]/c, cos[(α-β)/2]=[(a+b) sin(γ/ 2)]/c; analogamente, permutando, per le altre due differenze di angoli. (f) Formule di Nepero, o di Pitisco-Nepero: tan[(α-β)/2]=[(a-b) cot(γ/2)]/ (a+b); analogamente, permutando, per le altre due semidifferenze di angoli. (g) Mediane di un triangolo. Quella, ma (fig. 3), relativa al lato a, vale ma=(b2+c2+2bc cosα)1/2/2; analogamente, permutando, per gli altri due lati. (h) Raggio del cerchio circoscritto (fig. 1): R=a/(2 sinα)=b/(2 sinβ)=c/(2 sinγ)=abc/(4S). (i) Raggi dei cerchi exinscritti (fig. 2): ra=S/(p-a), rb=S/(p-b), rc=S/ (p-c). (l) Raggio del cerchio inscritto (fig. 1): r= S/p=[(a+b+c)/2] tan(α/2) tan(β/2) tan(γ/2). (m) Risoluzione di un triangolo qualsiasi. Si distinguono quattro casi. (1) Dati i tre lati a, b, c, gli angoli si possono dedurre dal teorema di Carnot (v. oltre) o dalle formule di Briggs (v. sopra); così si ha, per es., cosα=(b2+c2-a2)/ (2bc). (2) Dati due lati a, b e l'angolo compreso γ, il lato c si può ottenere partendo dal teorema di Carnot (v. oltre), cioè si ha c=[a2+b2-2ab cosγ]1/2 e successiv., per il teorema dei seni, sinα=(a/c) sinγ, sinβ=(b/c) sinγ. (3) Dati due lati a, b e l'angolo opposto a uno di essi, per es. l'angolo α opposto ad a, si ottiene sinβ=(b/a) sinα,γ=(π-α-β) rad, c=a [sin(α+β)]/sinα; se b sinα>a il problema non ha soluzione; se b sinα=a si ha una sola soluzione o nessuna a seconda che α