stazionarietà statistica

stazionarieta statistica

stazionarietà statistica Proprietà di un processo aleatorio (➔) e di una serie storica (➔ serie storiche). Intuitivamente, un processo stazionario è tale per cui la sua struttura probabilistica soddisfa certe condizioni di invarianza temporale. Si può distinguere tra due tipi di stazionarietà.

Stazionarietà forte e debole

La s. in senso stretto, o s. forte, richiede che la distribuzione di un processo aleatorio sia invariante rispetto a traslazioni avanti e indietro nel tempo. Ciò implica che la distribuzione marginale di ogni variabile aleatoria che compone il processo sia la stessa e che la distribuzione congiunta di ogni arbitraria coppia di variabili casuali che compongono il processo dipenda soltanto dalla distanza tra i loro indici temporali. La medesima proprietà di invarianza deve valere per la distribuzione congiunta di un qualunque numero arbitrario di variabili aleatorie. La s. forte è una proprietà molto restrittiva, raramente soddisfatta dalle serie storiche economiche o finanziarie. La s. debole richiede solamente l’invarianza dei primi due momenti della distribuzione delle variabili casuali che compongono il processo. Precisamente, il processo {X_t} è stazionario in senso debole, o semplicemente s., se E(X_t)=μ per ogni t, Var(X_t)=σ² per ogni t, e si ha Cov(X_t,X_t+h)=Cov(X_s,X_s+h)=γ(h), cioè le covarianze tra gli elementi del processo sono determinate soltanto dalla distanza h tra gli indici temporali. Il rumore bianco (➔) è quindi stazionario. Una serie storica a media mobile MA(q), di qualsiasi ordine q≥1, ha sempre tale proprietà. Una serie storica autoregressiva di ordine 1, AR(1), è stazionaria se ha coefficiente autoregressivo minore di 1 in valore assoluto. Simili condizioni sui coefficienti sono necessarie per garantire la s. di una serie storica autoregressiva AR(p), con p>1. In generale, se i momenti primi e secondi del processo {X_t} esistono, allora, la s. forte implica la stazionarietà. Le due nozioni di s. sono equivalenti nel caso particolare in cui il processo sia gaussiano.

Stazionarietà, persistenza e nonstazionarietà

La s. è legata alla persistenza (➔) e all’ergodicità (➔) di una serie storica: tipicamente una serie storica stazionaria ed ergodica è caratterizzata da una persistenza limitata che decresce rapidamente. Tuttavia, una serie storica stazionaria può avere persistenza illimitata, come nel caso della serie definita da {Z_t}={U_t+V}, dove {U_t} è un rumore bianco indipendente dalla variabile aleatoria V. Si ha infatti E(Z_t)=0, Var(Z_t)=σ²_m+σ²_v per ogni t. La serie è stazionaria poiché Cov(Z_t,Z_s)=σ²_v indipendentemente da t e da s, ma ha persistenza illimitata poiché la covarianza non tende a zero all’aumentare di h=∣t−s∣. Una serie storica può essere nonstazionaria nella media, nelle varianze o covarianze, o in entrambe. Per es., la serie {Y_t}={α+βt+U_t} è nonstazionaria nella media, poiché la media è un trend lineare: E(Y_t)=α+βt. La passeggiata aleatoria (➔), definita da Y_t=Y_t−1+U_t, con Y₀=0, è una serie stazionaria nella media, dal momento che E(Y_t)=0, per ogni t, ma non nelle varianze poiché Var(Y_t)=tVar(U_t). La passeggiata aleatoria con ‘drift’, Y_t=μ+Y_t−1+U_t, è un esempio di serie nonstazionaria sia nella media sia nelle varianze e covarianze.