riemanniano

riemanniano

riemanniano 〈riimanniano〉 [agg. e s.m. Der. del nome di B. Riemann] [ALG] R. di una varietà algebrica: varietà reale i cui punti siano in corrispondenza biunivoca e bicontinua con i punti reali e complessi della varietà data. ◆ [ALG] [FAF] Geometria r., o geometria ellittica: l'impostazione della geometria differenziale secondo B. Riemann. Si pensi di individuare i punti di una varietà a r dimensioni mediante certe coordinate (x₁, x₂, ..., xr) e s'introduca la forma differenziale quadratica, definita positiva, ds2=Σij=rij=1 aij(x₁, x₂, ..., xr)dxidxj, i cui coefficienti aij sono convenienti funzioni del punto (x₁, ..., xr). Con Riemann, si può assumere la grandezza ds2 ora scritta come quadrato della distanza tra due punti infinitamente vicini (x₁, ..., xr) e (x₁+dx₁, ..., xr+dxr), introducendo così una "metrica" nella varietà, che prende il nome di varietà riemanniana. A partire dall'espressione di ds2 è possibile definire l'angolo di due curve in un loro punto comune, la distanza tra due punti A e B della varietà, le curve geodetiche, ecc. Tutte le proprietà della varietà che discendono dalla metrica, cioè da ds2, costituiscono la geometria r. della varietà stessa; questa geometria studia dunque le proprietà metriche spettanti alla varietà in sé stessa, indipendenti dall'eventuale immersione in un certo spazio ambiente, e in questo senso si parla anche di geometria metrica intrinseca. Lo spazio euclideo a r dimensioni rientra come caso particolarissimo tra le varietà riemanniane. Viceversa, una varietà r. è di tipo euclideo se in essa, relativ. a un opportuno sistema di coordinate, ds2 si riduce alla forma ds2=dx₁2+dx₂2+...+dxr2 (forma pitagorica) e la metrica della varietà si riduce perciò all'ordinaria metrica euclidea; in ogni altro caso la geometria della varietà è una geometria non di tipo euclideo. La condizione affinché la metrica possa ricondursi alla forma pitagorica è data dall'annullarsi del tensore di Riemann (←); questo permette di calcolare certe "curvature", che sono tutte nulle nel caso di uno spazio euclideo, mentre in generale danno una misura di quanto la varietà r. e la relativa geometria si discostino dall'ordinario spazio euclideo e relativa geometria. ◆ [MCC] Meccanica r.: v. meccanica analitica: III 658 a. ◆ [ALG] Metrica r.: su una varietà differenziabile, metrica che si esprime attraverso un campo di tensori del secondo ordine, simmetrici e covarianti, assegnato sulla varietà medesima: v. varietà riemanniane: VI 498 b. ◆ [ALG] Struttura r. debole: v. varietà differenziabili infinito-dimensionali: VI 494 f. ◆ [ALG] Superficie r. (o, assolut., riemanniana s.f.): di una curva, è una superficie reale i cui punti siano in corrispondenza biunivoca e bicontinua con i punti sia reali che complessi della curva (si noti che la curva è un ente a una dimensione complessa, mentre la r. è un ente a due dimensioni reali). Della r. di una curva si possono costruire vari modelli, tutti omeomorfi tra loro; per es., una r. della retta complessa è il piano della variabile complessa, o piano sfera oppure la superficie di una sfera; in modo analogo si può definire la r. di una superficie. ◆ [RGR] [ALG] Varietà r.: varietà sulla quale si sia stabilita una metrica riemanniana.