Variazioni, calcolo delle
Giuseppe Buttazzo
Gianni Dal Maso e Ennio De Giorgi
SOMMARIO: 1. Introduzione. 2. Alcuni esempi storici: a) il problema isoperimetrico; b) il principio di Fermat e le leggi [...] uε si può ricondurre allo studio del Γ-limite, per ε → 0, della successione Fε, quando si prenda come spazio U di funzioni ammissibili lo spaziodiSobolev delle funzioni di W1, 2 (Ω) con traccia uguale a ϕ su ∂Ω, munito della convergenza L2 (Ω). Si ...
Leggi Tutto
L'Ottocento: matematica. Equazioni differenziali alle derivate parziali
Thomas Archibald
Equazioni differenziali alle derivate parziali
Nel corso del XIX sec. la teoria delle funzioni di più variabili [...] . Per molti decenni l'aspetto geometrico del lavoro di Lie fu considerato il suo più importante lascito. Soltanto di recente, grazie al più sofisticato apparato analitico degli spazidiSobolev, l'approccio di Lie ha iniziato ad avere l'efficacia che ...
Leggi Tutto
La grande scienza. Calcolo delle variazioni
Gianni Dal Maso
Calcolo delle variazioni
Un problema di grande importanza nella matematica pura e applicata è la ricerca dei valori massimi o minimi di grandezze [...] 1982; Acerbi e Fusco 1984).
Una situazione molto interessante si presenta quando la [9] e la [22] valgono con p=1. Lo spaziodiSobolev W1,1(ω;ℝm) non è adatto in questo caso all'uso dei metodi diretti, perché viene a mancare la coercitività. È ...
Leggi Tutto
Equazioni funzionali
Jacques-Louis Lions
La teoria delle equazioni funzionali si è sviluppata a stretto contatto con i problemi via via sorti nelle varie scienze, a partire dalla meccanica, e dalla [...] A(u)=f, si ha
[11] D(A)=H01(Ω), F=H−1(Ω).
Gli spazidiSobolev Hm(Ω), costruiti su L2(Ω), possono essere insufficienti per i problemi non lineari. Più spesso si introducono gli spazidiSobolev Wm,p(Ω) su Lp(Ω), con 1≤p≤∞:
[12] Wm,p(Ω)={v tali ...
Leggi Tutto
spaziodiSobolev
Arrigo Cellina
Per trattare problemi di equazioni differenziali ci si pone in spazidi funzioni che devono ammettere derivate in un qualche senso, anche debole, e devono essere completi [...] per poter passare al limite nel processo di approssimazione. Negli spazidiSobolev si definiscono le derivate in un senso distribuzionale, cioè mediante integrazione con funzioni test η. Sia Ω un aperto dello spazio a N dimensioni ℝN. Si dice che ...
Leggi Tutto
Analisi non lineare: metodi variazionali
Antonio Ambrosetti
I primi problemi di calcolo delle variazioni si presentano quasi spontaneamente, anche nello studio della geometria elementare e hanno infatti [...] 31] formula.
Ovviamente, è nella forma ∫ΩL(x,u,∇u)dx con L=∣∇u∣2/2−Ψ(x,u). Lo spazio naturale su cui cercare i punti critici di J è lo spaziodiSobolev H=W01,2(Ω) delle funzioni u∈L2(Ω) che hanno derivate, nel senso delle distribuzioni, in L2(Ω) e ...
Leggi Tutto
Equazioni differenziali: problemi non lineari
Jean Mawhin
La modellizzazione di molti problemi fisici porta alla ricerca di soluzioni di equazioni differenziali di secondo ordine, ordinarie o alle derivate [...] ha un'unica soluzione classica u∈C2,α(Ω_) per ogni h∈C0,α(Ω_).
Similmente, se p>1 e Wk,p(Ω) denota lo spaziodiSobolev delle funzioni reali u con derivate deboli fino all'ordine k appartenenti a Lp(Ω) e norma
[24] formula.
e W0k,p(Ω) indica la ...
Leggi Tutto