QUADRICHE

QUADRICHE

. Si designa col nome di quadrica ogni superficie di 2° ordine, vale a dire il luogo dei punti dello spazio le cui coordinate cartesiane soddisfano un'equazione quadratica (cioè di 2° grado) in tre variabili. Fu appunto la discussione di una tale equazione che permise ad Eulero (1748), a G. Monge e ai suoi discepoli (50 anni dopo) di fare la classificazione completa delle quadriche e di scoprirne le principali proprietà. Alcuni casi particolari, oltre la sfera, i coni e i cilindri, erano noti anche ai geometri greci. Archimede considera l'ellissoide rotondo (che egli chiama sferoide), il paraboloide rotondo (conoide retto) e la superficie generata dalla rotazione di un ramo d'iperbole intorno all'asse trasverso (da lui detta conoide ottusangolo). L'iperboloide rotondo a una falda, generato dalla rotazione di un'iperbole intorno all'asse non trasverso, è preso in esame (sotto il nome di cilindroide) da C. Wren (1669), il quale si è accorto che la superficie si può generare anche facendo rotare una retta intorno a una retta sghemba.

La classificazione nominata si fonda sopra particolarità metriche. Le quadriche si suddividono anzitutto in due famiglie: quadriche a centro, dotate di un centro di simmetria che biseca ogni corda per esso; e quadriche senza centro o a centro improprio.

I. - Una quadrica a centro possiede tre piani di simmetria (piani principali) mutuamente perpendicolari e secantisi lungo i tre assi; ogni asse incontra la superficie in due vertici, reali o immaginarî. Assumendo come piani coordinati i tre piani principali, l'equazione della quadrica si riduce a forma normale o canonica, contenente soltanto i quadrati delle tre coordinate e il termine noto. Tenendo conto dei segni dei varî termini, si distinguono i casi seguenti:

I, 1. - Ellissoide (fig.1); ha i sei vertici reali e l'equazione

La superficie è tutta contenuta entro un parallelepipedo ortogonale di spigoli 2a, 2b, 2c; se a > b > c, a e c forniscono la massima e la minima distanza di un punto dell'ellissoide dal centro. Se due dei tre semiassi a, b, c sono uguali, l'ellissoide è rotondo (sferoide di Archimede), ed è generato da una ellisse rotante intorno a uno dei suoi assi; se sono tutti e tre uguali, si ha la sfera. Le sezioni piane di un ellissoide sono ellissi.

I, 2. - Iperboloide a una falda (fig. 2); due coppie di vertici reali, una immaginaria. L'equazione è

Il piano xy sega l'iperboloide nella ellisse di gola

la più piccola ellisse che si possa tracciare sulla superficie; questa sta tutta al di fuori del cilindro retto che ha quell'ellisse come base. La superficie è connessa (cioè si può sempre passare da un punto ad un altro della superficie lungo una linea continua tracciata su essa) e si estende all'infinito.

Se i due semiassi trasversi a e b sono uguali, la superficie è rotonda e si può generare facendo rotare un'iperbole intorno all'asse non trasverso (cilindroide di C. Wren). Un piano può segare l'iperboloide a una falda secondo un'ellisse o una parabola o un'iperbole; la sega in coppie di rette reali, se è tangente (v. sotto).

I, 3. - Iperboloide a due falde (fig. 3); una sola coppia di vertici reali. L'equazione è

La superficie si compone di due falde a forma di coppe rivolte in senso opposto ed estese all'infinito; esse sono separate dallo strato compreso fra i due piani paralleli x = ± a, che toccano la superficie nei vertici dell'asse trasverso x. La superficie ammette sezioni piane ellittiche, paraboliche e iperboliche. Se b = c, l'iperboloide è rotondo ed è generato da un'iperbole rotante intorno all'asse trasverso (sicché è costituito da due conoidi ottusangoli di Archimede).

II. - Le quadriche senza centro, o paraboloidi, ammettono due piani di simmetria (piani principali), che si segano ortogonalmente lungo l'asse; questo incontra la superficie in un punto, detto vertice (e in un secondo punto all'infinito, detto talora centro improprio). L'equazione della superficie, riferita ai due piani principali e al piano perpendicolare all'asse nel vertice, contiene i quadrati di due coordinate e la terza a primo grado. Si distinguono i due casi seguenti (ove p, q designano due numeri positivi):

II, 1. - Paraboloide ellittico (fig. 4) di equazione

La superficie si compone di una sola coppa, estesa all'infinito, e situata tutta da una banda del piano z = 0 che la tocca nel vertice. Le sezioni piane sono generalmente ellissi; solo i piani paralleli all'asse segano la superficie lungo parabole. Se p = q, il paraboloide è rotondo ed è generato da una parabola rotante intorno al proprio asse.

II, 2. - Paraboloide iperbolico (fig. 4), di equazione

La superficie, a forma di sella, si estende all'infinito dall'una e dall'altra banda del piano z - 0 che la tocca nel vertice e la sega lungo due rette. È una quadrica rigata (v. sotto); ha sezioni piane generalmente iperboliche; solo i piani paralleli all'asse la segano lungo parabole.

A questi cinque tipi di quadriche reali vanno aggiunte le quadriche degeneri, e precisamente:

1. il cono la cui equazione si può porre sotto la forma

le sezioni piane sono ellissi, parabole e iperboli; il cono è rotondo, se a = b;

2. il cilindro, che può essere ellittico (cioè a sezioni ellittiche)

Ricordiamo le più semplici proprietà proiettive (v. geometria, numeri 23-29) comuni a tutti i tipi di quadriche. Una quadrica è segata da una retta in due punti (reali o immaginarî) e da un piano lungo una conica (reale o immaginaria, o spezzata in due rette). Le rette tangenti a una quadrica in un punto (cioè aventi ivi due intersezioni coincidenti) stanno nel piano tangente alla quadrica in quel punto; il piaceidenti, o immaginarie, uscenti dal punto, che si dice rispettivamente iperbolico o parabolico o ellittico. Sono quadriche a punti ellittici l'ellissoide (in particolare la sfera), l'iperboloide a due falde e il paraboloide ellittico; il piano tangente lascia da una stessa banda tutta la falda di superficie a cui appartiene il punto di contatto. Sono a punti iperbolici l'iperboloide a una falda e il paraboloide iperbolico; queste quadriche rigate contengono due sistemi di rette reali, tali che per ogni punto della superficie passa una retta del primo e una retta del secondo sistema; le due rette determinano il piano tangente ivi, il quale spezza la superficie. Una quadrica rigata si genera facilmente, quando siano date tre rette di uno stesso sistema, che sono sghembe a due a due; la quadrica è infatti ricoperta da tutte le rette (generatrici) che incontrano quelle tre (direttrici) e anche da tutte le rette che tagliano tre generatrici e (in conseguenza) tutte le altre generatrici. Le generatrici si possono anche ottenere come congiungenti di punti corrispondenti in due punteggiate proiettive a sostegni sghembi, o come intersezioni di piani corrispondenti di due fasci proiettivi ad assi sghembi. Le quadriche a punti parabolici sono i coni e i cilindri.

Da un punto dello spazio escono infinite rette (reali o immaginarie) che toccano una quadrica; esse formano un cono quadrico (cono circoscritto; G. Monge, 1798), il quale tocca la quadrica lungo una conica situata nel piano polare del punto.

Se la quadrica è opaca e la conica reale, essa separa la parte della quadrica visibile a un osservatore, che abbia l'occhio nel vertice del cono, dalla parte invisibile; perciò la detta conica si dice contorno apparente della superficie; essa è anche la linea separatrice di luce e ombra sulla quadrica illuminata da un centro luminoso situato nel punto (si pensi, ad es., alla superficie terrestre, che è press'a poco un ellissoide rotondo, illuminata dal Sole). Per una retta dello spazio passano due piani (reali o immaginarî) tangenti a una quadrica.

Una quadrica è determinata da nove dei suoi punti (in posizione generica); le costruzioni della quadrica, a partire dai nove punti, sono troppo complesse per essere qui riferite.

Fra i sistemi formati da infinite quadriche ci limitiamo a segnalare, per la sua importanza nella teoria e nelle applicazioni, il sistema delle quadriche confocali o omofocali. Incontrato da P.-S. Laplace (1799), J. Ivory (1809) e C. F. Gauss (1813) nel problema dell'attrazione esercitata da un ellissoide, fu studiato sotto l'aspetto geometrico da C. Dupin e J. Binet (1813). Le quadriche (a centro) confocali sono rappresentate dall'equazione

dove λ è un parametro. In corrispondenza a un valore di λ compreso nell'intervallo (−a², −b²), o (−b², −^c2), o (−c², +∞), nell'ipotesi a > b > c, si ha rispettivamente un iperboloide a due falde, o a una falda, o un ellissoide. Per ogni punto dello spazio passano tre quadriche confocali, una di ciascuno dei tre tipi (fig. 5), corrispondenti a tre valori di λ, che si dicono coordinate ellittiche del punto (v. coordinate, n. 28); le tre quadriche si segano ortogonalmente (cioè i loro piani tangenti nel punto sono mutuamente perpendicolari). Le quadriche confocali forniscono uno dei più notevoli esempî di sistema triplo ortogonale di superficie; a due a due si segano lungo linee di curvatura (v. superficie). Per λ = −b², −c² si ottengono quadriche degeneri, che si riducono a un'iperbole, e ad un'ellisse. Queste due coniche focali stanno in piani perpendicolari e sono poste in modo che i fuochi di ciascuna sono vertici per l'altra; ciascuna di esse è il luogo dei punti dello spazio dai quali l'altra conica è proiettata mediante un cono rotondo. Le quadriche confocali hanno infiniti piani tangenti (immaginarî) comuni, i quali toccano il cerchio assoluto all'infinito (v. assoluto; ciclici, punti).

Bibl.: Cfr. i varî trattati di geometria analitica dello spazio (ad es., quelli di E. D'Ovidio, L. Berzolari, L. Bianchi, G. Castelnuovo, G. Scorza, ecc.) v. bibl. di coordinate. Per uno studio più profondo, v. geometria analitica dello spazio di G. Salomon nell'ed. orig. inglese (1862), o nelle trad. francese o tedesca.