punto fisso, teoremi del

punto fisso, teoremi del

In matematica, un p. f. per una funzione f:A→A definita su un insieme A è un elemento x∈A tale che x=f(x). In altre parole, un p. f. è un elemento (numero, punto ecc.) che la funzione applica su sé stessa. Per es., sia f definita sull’insieme dei numeri reali come f(x)=x²−6, allora −2 è un p. f. di f, poiché f(−2)=−2. Esempi di funzioni con p. f. sono le rotazioni del piano intorno a un punto P assegnato, in cui P è l’unico p. f. della rotazione. Una riflessione del piano rispetto a una retta, in cui ogni punto della retta è un p. f. e la funzione polinomiale sui numeri reali definita da f(x)=x²−4x+6, in cui un calcolo diretto mostra che per x=2 si ha f(2)=4−8+6=2 e per x=3, f(3)=9−12+6=3. Un esempio di funzione senza p. f. è invece una rotazione della circonferenza di un angolo diverso da zero (o di un multiplo di 2π) (non ha p. f. sulla circonferenza stessa). ● Esistono numerose formulazioni del teorema del p. f.: il teorema del p. f. in geometria algebrica, in topologia, per spazi infinito-dimensionali, per funzioni d’insieme (funzioni il cui argomento è un insieme) eccetera. Quella più comune è nota con il nome di teorema di Brouwer, che può essere enunciato nel modo seguente: ogni funzione f continua definita su un disco chiuso e a valori nel disco chiuso stesso ha un p. f. (non necessariamente unico). ● Un altro importante teorema è il teorema del p. f. di Banach, anche detto teorema della contrazione. Dato uno spazio metrico (X,d) (➔ spazio matematico), una contrazione è una funzione f:X→X tale che per ogni (x,y)∈X esiste un numero 0<1 per il quale si ha che ∣f(x)−f(y)∣≤kd(x,y). Il teorema di Banach dice che se f è una contrazione su uno spazio metrico che gode di alcune proprietà di regolarità, allora f ammette un unico p. fisso. ● Il teorema del p. f. trova applicazione in economia, per es. nella dimostrazione dell’esistenza di un punto di equilibrio.