problema

problema

problema questione, domanda o asserzione la cui soluzione, risposta o giustificazione non è immediatamente disponibile, ma va in qualche modo ricercata, attraverso una strategia risolutiva eseguibile e finita (algoritmo) che si realizza come procedura di calcolo, costruzione geometrica, dimostrazione, elencazione di possibilità. I problemi matematici, secondo la classificazione fattane da G. Polya, si dividono in due grandi categorie:

• «problemi che chiedono di trovare» un certo oggetto, l’incognita, che soddisfi le condizioni del problema e colleghi l’incognita ai dati del problema stesso. In un problema geometrico, quale per esempio una → costruzione con riga e compasso, i dati possono essere alcuni elementi di base (un punto e una retta, un segmento ecc.), le condizioni sono rappresentate dai mezzi a disposizione (le operazioni permesse dalla riga e dal compasso) e l’incognita è la effettiva costruzione che ne fornisce la soluzione (non necessariamente unica); in un problema aritmetico o algebrico, i dati sono rappresentati da numeri e da loro relazioni, le condizioni sono date dai vincoli che si pongono (che per esempio si lavori all’interno di un certo insieme numerico), l’incognita è un numero che si determina attraverso la risoluzione di equazioni o disequazioni;

• «problemi che chiedono di dimostrare» una certa proposizione attraverso un ragionamento, cioè una procedura logica che colleghi le ipotesi alla tesi da dimostrare. Sono esempi di questo genere i teoremi di una teoria che, fino a che non ricevono una dimostrazione, sono allo stato di → congetture ed è possibile che siano veri, falsi o indecidibili (→ decidibilità). Tra i problemi che «chiedono di dimostrare» vi sono anche problemi non direttamente costruttivi, quali per esempio i teoremi di esistenza o unicità (tale è per esempio, in analisi, il teorema di → Rolle).

Un problema è detto determinato, indeterminato o impossibile a seconda che ammetta: a) un numero finito di soluzioni; b) un numero infinito di soluzioni; c) nessuna soluzione.

Un problema geometrico può essere risolto o per via algebrica o analitica, facendo uso dell’algebra o dell’analisi matematica; o per via geometrica o sintetica, ricorrendo agli assiomi del piano o dello spazio o a teoremi precedentemente dimostrati.

In analisi matematica si dice problema funzionale quello in cui le incognite non sono numeri, bensì una o più funzioni: risolvere un problema funzionale significa determinare la più generale funzione che gode delle proprietà espresse dal quesito.