modulo su un anello A

modulo su un anello A

modulo su un anello A o A-modulo, gruppo abeliano additivo M dotato di un’operazione esterna di moltiplicazione per gli elementi dell’anello

in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:

• a ⋅ (m + n) = a ⋅ m + a ⋅ n, ∀a ∈ A, ∀m, n ∈ M

• (a + b) ⋅ m = a ⋅ m + b ⋅ m, ∀a, b ∈ A, ∀m ∈ M

• (ab) ⋅ m = a ⋅ (b ⋅ m), ∀a, b ∈ A, ∀m ∈ M

Se l’anello A è unitario con elemento neutro 1, allora in aggiunta si richiede anche

• 1 ⋅ m = m, ∀m ∈ M

Se M è un modulo su un anello A, allora un sottomodulo di M è un suo sottogruppo M′ ⊆ M stabile rispetto alla moltiplicazione per gli elementi di A, vale a dire tale che a ⋅ m appartiene a M′ per ogni m appartenente a M′ e per ogni a appartenente ad A. Un sottomodulo di un A-modulo M è dunque un sottoinsieme di M che eredita la struttura di A-modulo.

Se l’anello A è un campo, allora la nozione di modulo su un anello coincide con quella di spazio vettoriale su un campo; pertanto la nozione di modulo generalizza quella di spazio vettoriale. Ogni gruppo abeliano (che assumiamo essere additivo) può essere considerato come modulo sull’anello Z dei numeri interi, ponendo

Per modulo libero su un anello con unità A si intende il prodotto cartesiano Aⁿ (e quindi l’insieme delle n-ple ordinate di elementi di A) dotato di moltiplicazione “esterna”, componente per componente, con gli elementi di A stesso:

Il numero n è detto rango del modulo libero. Un modulo libero di rango n può formalmente essere costruito a partire da un qualunque insieme di n elementi S = {s₁, ..., s_n} e allora esso può essere visto come formato da tutte le combinazioni lineari formali del tipo

dove (a_i) ∈ Aⁿ. Il fatto che S sia un qualunque insieme di oggetti indipendenti spiega perché tale modulo sia detto libero; gli elementi di S ne costituiscono comunque una base.

Per modulo proiettivo su un anello A si intende un modulo M che è sommando diretto di un modulo libero su A; vale a dire esiste un modulo libero N, in cui M si immerge, tale che N è somma diretta di M e M′, per qualche sottomodulo M′ (a sua volta anch’esso proiettivo). Se un modulo è libero, è perciò anche proiettivo perché è sommando diretto di sé stesso. Il teorema inverso costituisce l’oggetto del teorema di → Quillen-Suslin che ha risolto la congettura di → Serre.