GEODETICHE, LINEE

GEODETICHE, LINEE

. 1. Generalità. - Rappresentazione analitica. - Proprietà elementari. - Il problema "in superficie quacumque ducere lineam inter duo puncta brevissimam" è stato posto, nel 1697, da Giovanni Bernoulli. Queste linee di minimo percorso su di una superficie, di cui le prime determinazioni, per classi particolari di superficie, risalgono allo stesso G. Bernoulli e al fratello Giacomo (1698), e le prime rappresentazioni analitiche, per il caso generale, a G. Bernoulli e a L. Eulero (1729), sono poi state chiamate linee geodetiche (P.S. Laplace, Mécanique céleste, 1798-99). Più esattamente, si possono definire come geodetiche le linee che realizzano sulla superficie il percorso di minima lunghezza fra due loro punti sufficientemente vicini, perché soltanto sotto quest'ultima restrizione il problema delle linee di minimo percorso ammette sempre soluzioni. Ma si preferisce, generalmente, caratterizzare le geodetiche mediante questa loro proprietà locale (G. Bernoulli, 1698): esse sono le linee aventi in ciascun loro punto il piano osculatore (v. curve) normale alla superficie (o indeterminato). In particolare, le geodetiche del piano sono le linee rette, ed è pure geodetica, su di una superficie, una retta che eventualmente vi giaccia; sono geodetiche della sfera i circoli massimi, del cilindro le generatrici, le sezioni normali, e le eliche.

Dal punto di vista storico va soprattutto notato che è col problema delle geodetiche che ha inizio la geometria differenziale delle superficie; mentre esso può pure annoverarsi, insieme a quelli della brachistocrona e degl'isoperimetri, fra i problemi che hanno condotto al calcolo delle variazioni (v. variazioni, calcolo delle).

Se P = P(s) è una rappresentazione parametrica di una linea γ sulla superficie σ, s essendo la lunghezza d'arco di γ, questa è una geodetica, se in ciascun punto è nullo, o normale a σ, il suo vettore di curvatura u = dt/ds (t = dP/ds, versore tangente: v. curve). O ancora: assegnamo un'orientazione alla normale a σ nel punto generico P di γ e alla normale a γ che giace nel piano tangente a σ, e chiamiamo N, p i corrispondenti versori; indichiamo con ¹/ρ_n e ¹/ρ_g - curvatura normale e curvatura geodetica (Bonnet, Liouville) di γ in P - le componenti (scalari) di u secondo N e N. Le geodetiche di una superficie sono su questa le linee a curvatura geodetica nulla: come nel piano le rette sono le linee a curvatura nulla (v. curvatura; Curve). Sotto altra forma: le rette sono le (uniche) linee del piano lungo cui il versore tangente σ è costante, cioè sono sul piano le linee autoparallele. Ebbene: un'analoga proprietà sussiste pure per le geodetiche, ed è stata scoperta da T. Levi-Civita (1917). Sia di σ(s) una serie di versori tangenti a σ nei punti di una linea γ; se il vettore derivato dξ/ds si mantiene lungo γ normale a σ si dice che i vettori ξ (s) sono, lungo γ, paralleli secondo Levi-Civita in σ. La linea γ è geodetica dì σ se (e soltanto se) lungo essa sono paralleli in σ, nel senso ora detto, i versori tangenti t(s): cioè le linee geodetiche sono le linee autoparallele per parallelismo di Levi-Civita. Le geodetiche sulle superficie tengono dunque, sotto varî riguardi, il ruolo tenuto dalle rette nella geometria piana.

Analiticamente le geodetiche della superficie Φ(x, y, z) = 0 (x, y, z essendo coordinate cartesiane nello spazio) si rappresentano mediante l'equazione differenziale

Quando la superficie è data con equazioni parametriche x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v), assunto su ciascuna geodetica il parametro u a variabile indipendente, si ha per le geodetiche l'equazione differenziale ordinaria del 2° ordine nella funzione v (u):

le

essendo i simboli di seconda specie di Christoffel relativi alla forma ds² = Edu² + 2Fdudv + Gdv² che esprime il quadrato dell'elemento lineare (v. christoffel).

Alla stessa equazione (z) si giunge pure cercando, coi metodi del calcolo delle variazioni, le estremali del problema variazionale

queste estremali coincidono dunque con le geodetiche, e perciò le geodetiche sono pure - v. dinamica, nn. 15 e 21 - le traiettorie dei moti spontanei sulla superficie (Eulero, 1736). Ciò porta, in particolare, che la linea di minimo percorso fra due punti (o una qualunque di esse, se ve n'è più d'una) su una porzione regolare di superficie è certo un arco di geodetica.

La (2) mostra pure che le geodetiche costituiscono un elemento legato alla metrica della superficie e non dipendente dalle varie configurazioni che questa, pensata come un velo flessibile e inestensibile, può assumere nello spazio: un elemento insomma di quella geometria (metrica) intrinseca, basata solo sull'assegnazione della legge esprimente la distanza fra due punti infinitamente vicini - cioè, del ds² - iniziata per le superficie da Gauss, estesa poi alle varietà pluridimensionali da Riemann.

Il sussistere di una rappresentazione analitica del tipo (2) porta che esce una e una sola geodetica da un punto qualunque (regolare) di una superficie σ, secondo una qualunque direzione (tangente a σ). Ciascuna linea γ di σ ha, in ogni suo punto, una geodetica tangente; la curvatura normale 1/ρ_n di γ in P è la flessione della geodetica tangente. Dato su σ un punto (regolare) O si può determinare una regione R₀ di σ contenente O, tale che ogni altro suo punto P sia congiunto ad O da uno e uno solo arco di geodetica contenuto in R₀. Tale arco geodetico OP realizza, sulla superficie, il minimo percorso fra i due punti O, P; la sua lunghezza si dice distanza geodetica dei due punti. Analogamente, data su σ una linea (regolare) γ, per ogni punto P di una regione R_γ di σ opportunamente delimitata esce una e una sola geodetica che incontra ortogonalmente γ in un punto P₀. L'arco geodetico (contenuto in R_γ) P₀ P realizza sulla superficie il minimo percorso tra un punto di γ e P; la sua lunghezza si dice distanza geodetica di P da γ. Il luogo dei punti a distanza geodetica assegnata da un punto O è una linea che incontra ad angolo retto le geodetiche uscenti da O (cerchio geodetico polare di centro O); il luogo dei punti a distanza geodetica assegnata da una linea γ è una linea che incontra ad angolo retto le geodetiche ortogonali a γ (linea geodeticamente parallela a γ; Gauss, 1828).

Notevoli relazioni sussistono fra le nozioni di geodetiche (e parallelismo) e di curvatura: la più elementare è costituita dal teorema di Gauss sulla curvatura totale dei triangoli geodetici (v. curvatura).

2. Integrazione dell'equazione differenziale delle geodettiche - Cenni su ulteriori sviluppi della teoria. - L'equazione differenziale (2) delle geodetiche su di una superficie qualunque non è di quelle che si sanno integrare, cioè ridurre a quadrature. Basta però conoscere un integrale primo, con una costante arbitraria (non additiva), dell'equazione (2) per avere con una quadratura l'equazione delle geodetiche in termini finiti (Jacobi). Il caso più generale e importante in cui si sa determinare un tale integrale primo è quello delle superficie di cui sia dato il ds² nella forma di Liouville, ds² = [α(u) × β(v)] (du² += dv²) (Liouville, 1846). Le superficie il cui ds² può essere ridotto a questa forma sono dette appunto superficie di Liouville. Tale riduzione si fa con una quadratura per le superficie sviluppabili (applicabili per flessione sul piano), per le superficie di rotazione, per le quadriche; essa si riconduce all'integrazione di un'equazione differenziale del primo ordine del tipo di Riccati per le superficie a curvatura costante.

Un altro problema, quello delle rappresentazioni geodetiche (v: cartografia), cioè, delle rappresentazioni puntuali in cui le geodetiche si corrispondono, dà luogo ancora alle superficie di Liouville: sono queste le uniche superficie che ammettono rappresentazioni geodetiche reali (che non si riducano a similitudini combinate con deformazioni per flessione) su sé stesse o su altre superficie della stessa classe (Dini, 1869).

Come si è già accennato (n. 1) una linea geodetica γ, tracciata su una superficie σ, non costituisce, generalmente, la linea di minimo percorso fra i suoi estremi, se questi non sono sufficientemente vicini. Più precisamente, perché PQ realizzi fra P e Q il minimo percorso sulla superficie, è necessario che nell'arco PQ non sia contenuto un punto comune a γ e ad un'altra geodetica, ad essa infinitamente vicina, uscente da P (Jacobi, 1837). Se esiste su γ un tale punto R, esso si dice un punto coniugato a P o fuoco di P. Il luogo dei punti coniugati a P sulle geodetiche che ne escono è la linea inviluppo di queste, e vien detta caustica relativa a P; essa però può anche non esistere, o ridursi a un punto. Ad es. sulla sfera ogni punto ha un solo coniugato, che è il punto diametralmente opposto; sulle superficie a curvatura negativa le geodetiche uscenti da un punto non ammettono inviluppo (Jacobi). Le geodetiche della sfera sono linee chiuse; particolarmente interessante, per le relazioni con problemi meccanici, ma elevato è lo studio delle geodetiche chiuse e delle superficie che ne contengono. Ad es. partendo da ricerche astronomiche (relative alle soluzioni periodiche del problema dei tre corpi) H. Poincaré è stato condotto a studiare il problema delle geodetiche chiuse sulle superficie ovali: egli ha stabilito, fra l'altro (1905) l'effettiva esistenza di almeno una geodetica chiusa senza punti doppî su ciascuna di tali superficie.

3. Generalizzazioni. - La nozione di linea geodetica di una superficie è suscettibile di estensioni in direzioni differenti, secondo che si riguarda la geodetica come caratterizzata dalla proprietà di essere linea estremale, o di essere linea autoparallela. Al primo tipo appartiene l'estensione costituita dalle geodetiche delle varietà riemanniane V_n, estremali del problema variazionale

(quadrato dell'elemento lineare) è la forma quadratica differenziale che determina la geometria nella V_n (n. 1). Alle geodetiche sulle V_n si estendono molte delle nozioni e proprietà delle geodetiche sulle superficie; si presentano però anche nozioni e proprietà nuove. Ad es. vanno considerate (oltre alle linee) anche le superficie e varietà geodetiche e totalmente geodetiche della V_n le prime sono determinate dal contenere tutte le linee geodetiche che escono da un punto secondo le direzioni di una orientazione piana, a due o più dimensioni, assegnata; le seconde sono le (eventuali) superficie o varietà geodetiche per tutti i loro punti. Le varietà a curvatura riemanniana costante sono le sole in cui ogni superficie o varietà geodetica in un punto è totalmente geodetica.

All'altro aspetto delle geodetiche, di "linee autoparallele", si ricollegano recenti estensioni alle varietà a connessione metrica, affine, proiettiva (H. Weyl, 1918; E. Cartan, 1922 e 1924): v. geometria.

Bibl.: P. Stäckel, Benerkungen zur Geschichte der kürzesten Linien, in Leipziger Berichte, XLV, 1893; M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, III, Lipsia 1898; G. Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Parigi 1887-1896; L. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, 3ª ed., Pisa-Bologna 1922-24; G. Ricci, Lezioni sulla teoria delle superficie, Padova 1898; W. Blaschke, Vorelesungen über Differentialgeometrie, I, 3ª ed., Berlino 1930; J. A. Schouten, Der Ricci-Kalkül, Berlino 1924; T. Levi-Civita, Lezioni di Calcolo differenziale assoluto, Roma 1925.