Lie, gruppo di

Lie, gruppo di

Lie, gruppo di varietà differenziabile che soddisfa gli assiomi di → gruppo, compatibilmente con la struttura di varietà differenziabile, vale a dire in modo che le operazioni di gruppo siano continue rispetto alla sua struttura differenziabile (→ continuità). Per esempio, la retta reale R è un gruppo di Lie rispetto all’addizione, mentre la retta reale privata dell’origine è un gruppo di Lie rispetto alla moltiplicazione. I principali esempi di gruppi di Lie nascono come gruppi di trasformazioni: questo è per esempio il caso di tutti i gruppi classici di matrici. Lo spazio tangente a un gruppo di Lie nell’unità risulta naturalmente dotato della struttura di algebra di Lie: dotato di tale struttura, lo spazio tangente l’unità di un gruppo di Lie G è detto l’algebra di Lie di G e convenzionalmente è indicato come Lie(G) o con la lettera gotica minuscola corrispondente a g (→ Lie, algebra di). Per esempio, lo spazio tangente l’unità del gruppo generale lineare gl(n, R) è l’algebra di Lie gl(n, R); lo spazio tangente l’unità del gruppo speciale lineare sl(n, R) è l’algebra di Lie sl(n, R).

I gruppi di Lie sono gruppi «finiti» perché è finito il numero dei loro parametri, e «continui» per la differenziabilità di ogni ordine richiesto. I progressi compiuti dalla teoria delle equazioni algebriche, attraverso lo studio dei gruppi di Galois a esse associati, indussero a un’indagine analoga per le equazioni differenziali ordinarie. Lie associa a ogni equazione differenziale del primo ordine il gruppo delle trasformazioni puntuali che lasciano invariata la famiglia delle curve integrali. A differenza di ciò che accade per le equazioni algebriche (dove si hanno gruppi finiti), le trasformazioni sono individuate da parametri variabili con continuità: si hanno cioè gruppi continui. Quando la dipendenza dai parametri sia tale che le operazioni di composizione del gruppo siano espresse localmente da funzioni analitiche (→ Taylor, serie di) dei parametri, il gruppo continuo si chiama gruppo di Lie. La determinazione delle condizioni minime su tali funzioni perché il gruppo continuo sia un gruppo di Lie è uno dei 23 problemi posti da Hilbert nel 1900 (il quinto per l’esattezza): problema risolto da J. von Neumann (1930) e da D. Montgomery e L. Zippin e da A.M. Gleason nel 1952, nel caso di dimensione finita, e successivamente sistemato nel 1955 (D. Montgomery, L. Zippin, Topological transformation groups, Gruppi di trasformazioni topologiche, 1955). L’attenzione di Lie resta concentrata sulle applicazioni alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie e dei gruppi di trasformazioni che le lasciano invariate. Egli mostra che le proprietà del gruppo di invarianza di un’equazione differenziale ordinaria sono legate alla riducibilità di quest’ultima, per quanto riguarda la sua integrazione. Per esempio, la condizione perché un’equazione del primo ordine sia integrabile con una quadratura è che essa ammetta un gruppo di invarianza a un parametro. Il fatto che la composizione di un gruppo di Lie sia espressa da funzioni analitiche permette di utilizzare gli strumenti del calcolo differenziale. Considerando i sottogruppi a un parametro, si associa a un gruppo di Lie un’algebra non associativa, la sua algebra di Lie, che costituisce in un certo senso la “versione infinitesimale” del gruppo e può essere identificata, come spazio vettoriale, con lo spazio tangente nell’identità al gruppo, inteso come varietà differenziabile. Di fatto, molti problemi concernenti i gruppi di Lie connessi possono ricondursi a questioni sulle algebre di Lie.