germe

germe

germe nozione che interviene in vari ambiti della geometria algebrica, e più in particolare nello studio delle → varietà, siano esse topologiche, differenziabili, analitiche o algebriche. Se M è una varietà topologica (rispettivamente differenziabile, analitica, algebrica) e se p è un punto di essa, sia ƒ una funzione continua (rispettivamente differenziabile, analitica, regolare) definita in un intorno di p. Il germe di ƒ in p è allora definito come l’insieme di tutte le funzioni continue (rispettivamente differenziabili, analitiche, regolari) definite in un intorno di p e coincidenti con ƒ in un intorno sufficientemente piccolo di p: in questo modo viene “catturato” il comportamento locale di ƒ in p; nel caso di una funzione analitica questo equivale a dare il valore di ƒ nel punto p insieme a tutte le sue derivate (di ordine qualsiasi) calcolate in p.

Da un punto di vista più formale, sull’anello delle funzioni continue (rispettivamente differenziabili, analitiche, regolari) definite in un arbitrario intorno di p si definisce una relazione di equivalenza come segue: ƒ ~ g se e solo se esiste un intorno U contenente p tale che ƒ e g coincidono se ristrette a U. La transitività di tale relazione deriva dal fatto che se U e V sono intorni di p, anche U ∩ V lo è. Un germe di funzione continua (rispettivamente differenziabile, analitica, regolare) in p è allora la classe di equivalenza di una funzione continua (rispettivamente differenziabile, analitica, regolare) definita in un intorno di p rispetto alla relazione ~. L’insieme dei germi di funzioni continue (rispettivamente differenziabili, analitiche, regolari) in un punto p eredita una naturale struttura di anello; più precisamente esso costituisce un anello locale, avente come ideale massimale il sottoinsieme costituito dai germi di funzioni che si annullano in p.