funzionale

funzionale

funzionale applicazione da uno spazio astratto X* in un campo numerico K. Un funzionale si dice reale o complesso a seconda che K sia il campo reale (R) o il campo complesso (C). Per esempio, sono funzionali reali il modulo (norma) di un vettore, la lunghezza di una linea, l’area di una superficie. L’integrale di una funzione g in un insieme E è un funzionale della coppia (g, E), lineare nel primo argomento e additivo nel secondo. La ricerca di punti critici (per esempio minimi) di funzionali reali è alla base del calcolo delle → variazioni.

Se X* è uno spazio vettoriale, il funzionale ƒ si dice additivo se ƒ(x + y) = ƒ(x) + ƒ(y) per tutti gli x, y di E; si dice omogeneo se ƒ(ax) = aƒ(x), dove a è un numero reale qualsiasi; si dice coniugato omogeneo se ƒ(ax) = āƒ(x) essendo ā il complesso coniugato di a. Il funzionale si dice lineare se è additivo e omogeneo, lineare coniugato se è additivo e coniugato omogeneo.

Se X* è uno spazio lineare topologico il funzionale si dice continuo nel punto a di X* se per ogni ε > 0 esiste un intorno U di a tale che |ƒ(x) − ƒ(a)| < ε per tutti gli x di U; un funzionale lineare continuo in un punto è continuo in tutto X*. Se X* ha dimensione finita ogni funzionale lineare su X* è continuo; in generale, affinché un funzionale lineare sia continuo è necessario e sufficiente che esista un intorno dello zero in cui esso sia limitato. In uno spazio normato, un funzionale lineare è continuo se e solo se esso è limitato per tutti i punti x tali che ‖x‖ ≤ 1. Si definisce la norma di un funzionale cosiffatto ponendo

cioè l’estremo superiore dell’insieme dei valori |ƒ(x)| per ‖x‖ ≤ 1.

L’insieme di tutti i funzionali lineari su X* costituisce il suo duale algebrico X*; se X* è dotato di topologia, il suo duale (topologico) X′ è invece costituito dai funzionali lineari e continui (→ dualità). Un funzionale ƒ in uno spazio di Hilbert X* coincide con il prodotto scalare per un opportuno elemento dello spazio, cioè: ƒ(x) = (x, a) per un opportuno elemento a ∈ X* (→ Riesz, teorema di rappresentazione di).