FILTRO

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In matematica, un f. in una classe A di oggetti, è. una sottoclasse non vuota di A, soddisfacente a certe condizioni. F. di sottoinsiemi non vuoti di un dato insieme, sono fondamentali nella topologia, in quanto collegati proprio alla nozione di convergenza: essi hanno, in spazi topologici generali, il ruolo che le successioni hanno nell'analisi classica, e intervengono in molte questioni, come l'uniformità, la compattezza, ecc. Definiremo dapprima questo importante tipo di f. d'insiemi, ne indicheremo il collegamento con il concetto di convergenza, e daremo poi una definizione di f. più generale.

Filtri d'insiemi. - Un f. su un insieme X è una collezione non vuota ℱ di sottoinsiemi di X, soddisfacente alle condizioni seguenti: 1) Se A e B appartengono a ℱ, anche l'intersezione A ⋂ B appartiene a ℱ. 2) Se A ∈ ℱ, (∈, sta per "appartiene"), ogni sottoinsieme di X che contenga A, appartiene a ℱ. 3) ℱ non contiene il sottoinsieme vuoto ∅ di X.

Per alcuni autori ℱ, così definito, è un "f. proprio" su X, mentre un f. su X soddisfa solo alle condizioni 1) e 2). Seguendo la nostra definizione, l'insieme ℘ (X) (indicato anche con exp X) di tutti i sottoinsiemi di X, è detto "f. improprio" o "f. nullo".

Un f. su X è detto anche "ideale in 〈 ℘ (X), ⋂ >", o "ideale-intersezione", denominazione giustificata da una stretta correlazione esistente tra i f. su X e gl'ideali di un certo anello booleano costruito a partire da X (v. algebra, in App. II, 1, p. 125).

Esempi di f. su un insieme X: a) l'ínsieme dei sottoinsiemi di X contenenti un dato sottoinsieme non vuoto A di X; questo è detto il "f. principale S (A) generato da A"; b) se X = N è l'insieme dei numeri interi ≥ 0, i complementari dei sottoinsiemi finiti (anche dell'insieme vuoto) di N costituiscono il "f. di Fréchet"; c) se X è dotato di una struttura di spazio topologico, (v. spazio, in questa App.), la totalità degl'intorni d'un punto x₀ è un f. ℑ_x0 su X; e lo è anche la totalità S (x₀) dei sottoinsiemi di X contenenti l'elemento x₀.

Basi di filtri. Ultrafiltri. - Dato un f. ℱ su un insieme X, una collezione ℬ di sottoinsiemi di X è detta una "base" del f. ℱ su X, se per ogni A ∈ ℱ esiste in ℬ un B ⊂ A (⊂, sta per "contenuto"). ℬ è una "base di f. su X" se esiste un f. ℱ su X del quale ℬ è una base. Si ha che: una collezione non vuota ℬ di sottoinsiemi di X è una base di f. su X, se e solo se ℬ non contiene l'insieme vuoto, e, per ogni coppia B₁, B₂ di elementi di ℬ, B₁ ⋂ B₂ contiene un elemento di ℬ. In tal caso la totalità ℱ (ℬ) dei sottoinsiemi A di X che contengono qualche B di ℬ, è un f. univocamente determinato: il "f. generato dalla base di f. ℬ".

Una collezione non vuota S di sottoinsiemi di X, è detta una "sottobase di f.", se l'intersezione di un qualunque numero finito di elementi di S non è l'insieme vuoto (proprietà dell'intersezione finita). Se S è una sottobase di f., la totalità ℬ (S) delle intersezioni finite di elementi di S, è una base di f. (che risulta univocamente determinata). Siano ora ℱ₁ ed ℱ₂ due f. su un insieme X, se come collezioni ℱ₁ ⊂ ℱ₂, si dice che ℱ₂ è un "sottofiltro" (o che è più fine) di ℱ₁ e si scrive ℱ₂ 〈 ℱ₁•ℱ₂ è "strettamente più fine" di ℱ₁, se è inoltre ℱ₂ ≠ ℱ₁. Si ottiene così una relazione d'ordine (〈) nella totalità Φ (X) dei f. su X. Aggiungendo a Φ (X) il f. nullo ℘ (X), si ottiene la totalità Φ* (X) dei f. nella seconda accezione indicata all'inizio; ebbene Φ* (X), con la relazione 〈, risulta essere un "reticolo completo distributivo", (v. reticolo, in App. III, 11, p. 603), con più grande elemento S (X) = {X} e più piccolo elemento S(∅) = ℘ (X).

Un f. U su un insieme X, tale che non esistano f. su X strettamente più fini di U, è detto un "f. massimale" o un "ultrafiltro". Si verifica che un f. ℱ su X è massimale se e solo se per ogni coppia A, B di sottoinsiemi di X, tale che l'unione A ⋃ B ∈ ℱ, si ha o A ∈ ℱ oppure B ∈ ℱ. Per ogni f. ℱ su X, esiste un ultrafiltro U su X più fine di ℱ:

Convergenza. - Sia ora X uno spazio topologico, si dice che un f. ℱ sull'insieme X "converge verso un punto x₀" (o che x₀ è un "limite del f. ℱ") se ogni intorno di x₀ appartiene a ℱ, cioè se il f. ℑ_x0, degl'intorni di x₀, è contenuto in ℱ, ne segue che ℱ converge ad x₀ se e solo se per ogni intorno V di x₀, c'è un A ∈ ℱ che sia contenuto in V. Nei precedenti esempi c), sia ℑ_x0 che. S(x₀) convergono verso x₀, e S(x₀) è un ultrafiltro. Risulta che un f. ℱ converge verso x₀ se, e solo se, ogni ultrafiltro contenente ℱ converge verso x₀. L'insieme di tutti i limiti di un f. ℱ è detto "insieme limite di ℱ".

Sia ora f un'applicazione fra due insiemi X e Y, ed ℱ un f. su X. Allora l'insieme di tutti gli f(A), con A ∈ ℱ, è una base di f. su Y; il f. generato su Y da questa base s'indica con f (ℱ). Per es., se S = (x_n)_{n ∈ N} è una successione infinita di elementi d'un insieme X, i sottoinsiemi di X, che contengono tutti i termini della successione eccetto un numero finito di essi, formano un f. ℰ_S su X (il "f. elementare associato a S"). Questo ℰ_S è il f. avente per base l'immagine del f. di Fréchet, (esempio b), mediante la funzione f: N → X, con f(n) = x_n. Si noti che (x_n)_{n ∈ N} converge verso un punto x₀ nel senso usuale, se e solo se ℰ_S converge verso x₀ nel senso della teoria dei filtri. Si definiscono ancora punti e insiemi di chiusura (aderenza) d'un f. ℱ, e con questo apparato si costruisce una teoria della convergenza basata sul concetto di filtro.

Classi pre-ordinate; classi dirette. - Sia A una classe non vuota di elementi x, y, z, ... Se è definita una relazione ρ fra coppie di elementi di A, che sia riflessiva (cioè x ρ x per ogni x ∈ A) e transitiva (se è x ρ y e y ρ z, è anche x ρ z), si dice che A = 〈A, ρ> è una "classe pre-ordinata". Se inoltre, per ogni coppia di elementi x e y di A, esiste in A un elemento z tale che sia z ρ x e z ρ y, si dice che A è l" diretta a sinistra". Se X è una sottoclasse di A(X ⊂ A) e ρ_X è la relazione indotta da ρ in X, 〈X, ρ_X> è una classe pre-ordinata, e se 〈X, ρ_X> è diretta a sinistra, si dice che X è "diretta a sinistra" in A. Si dice inoltre che X è "saturata a destra" in A se, per ogni x ∈ X, appartengono ad X anche tutti gli elementi y di A tali che sia x ρ y.

Sia ora A = 〈A, ρ> una classe pre-ordinata. Una classe non vuota X ⊂ A è detta un "f. sinistro" in A, se X è diretta a sinistra e saturata a destra in A (Analoga la definizione di f. destro in A).

Bibl.: H. Cartan, Theorie des filtres; filtres et ultrafiltres, in: Academie des sciences, Comptes rendus, parte I, vol. 205 (1937), pp. 595-98 e pp. 777-79; E. Čech, Topological spaces, Londra 1966; W. J. Thron, Topological structures, New York 1966; W. W. Comfort, S. Negrepontis, The theory of ultrafilters, Berlino 1975.