Jensen, diseguaglianze di

Jensen, diseguaglianze di

Disuguaglianze introdotte nel 1906 dal matematico danese J. Jensen. Una diseguaglianza di J. è soddisfatta dalle funzioni y=f(x) convesse, la cui rappresentazione grafica è una curva che sta tutta sopra i punti del segmento (corda) che unisce due punti comunque presi della curva stessa. Essa verifica dunque per ogni coppia x₁<x₂ di valori della x e ogni 0<t<1, la f(tx₁+(1−t)x₂)>tf(x₁)+(1−t)f(x₂). Si può generalizzare esprimendo x come combinazione lineare convessa (con pesi t₁,t₂,… ,t_n>0 e di somma 1) di certi n valori x₁<x₂<…<x_n della x. Ne consegue f(Σt_hx_h)>Σt_hf(x_h). Quando i valori della x siano determinazioni di una variabile aleatoria (➔) X, di speranza matematica E(X), e i pesi siano le loro probabilità, si ha f(E(X))>E(f(X)). ● L’applicazione di maggiore interesse all’economia si ha quando f sia la funzione di utilità u(x), che sintetizza, tramite la speranza matematica Eu(X), le preferenze rispetto alle situazioni aleatorie X di un decisore. In tal caso, u(E(X))>Eu(X) indica che il decisore preferisce la situazione certa E(X) alla situazione aleatoria X. Tali decisori sono avversi al rischio e hanno funzione di utilità convessa.