corrispondenza

corrispondenza

corrispondenza termine generale che indica l’associazione (attraverso una legge ƒ, una regola, un procedimento grafico o altro) tra gli elementi di due insiemi. Più precisamente, tra due insiemi (o più in generale due classi) X e Y, è definita una corrispondenza da X a Y se a ogni elemento di X risulta associato un sottoinsieme di Y, eventualmente anche vuoto. L’insieme X è detto dominio della corrispondenza; l’insieme Y è invece detto codominio della corrispondenza. Dare una corrispondenza da X a Y equivale ad assegnare un sottoinsieme del prodotto cartesiano X × Y, detto grafico della corrispondenza, costituito dalle coppie ordinate (x, y) tali che y appartiene al sottoinsieme associato a x tramite la corrispondenza. Una corrispondenza di un insieme X con sé stesso è detta anche → relazione su X. Data una corrispondenza da un insieme X a un insieme Y, resta naturalmente determinata una corrispondenza dall’insieme Y nell’insieme X (detta corrispondenza inversa), definita come la corrispondenza che associa a ogni elemento y di Y l’insieme (eventualmente vuoto) degli elementi di X che contengono y tra i loro associati. Una corrispondenza è detta involutoria se coincide con la sua inversa (per esempio, sono corrispondenze involutorie la simmetria centrale e la simmetria assiale). Data una corrispondenza tra un insieme X e un insieme Y, il sottoinsieme del dominio X costituito dagli elementi cui è associato un sottoinsieme non vuoto di Y è anche detto insieme di definizione della corrispondenza; il sottoinsieme di Y costituito dagli elementi che risultano associati a qualche elemento di X è invece detto immagine della corrispondenza: pertanto l’immagine di una corrispondenza coincide con l’insieme di definizione della corrispondenza inversa. Se per ogni elemento x ∈ X il sottoinsieme che gli viene associato tramite la corrispondenza è un singoletto (cioè se esso è costituito da esattamente un elemento) la corrispondenza è detta univoca (o anche a un valore) ed è più comunemente detta applicazione (o funzione) da X in Y. Se a qualche elemento di x è associato più di un elemento, allora la corrispondenza è detta plurivoca (o anche a più valori).

Una corrispondenza la cui inversa sia univoca è detta corrispondenza iniettiva. Se l’immagine di una corrispondenza coincide con tutto il codominio Y, allora la corrispondenza è detta suriettiva. Una corrispondenza univoca è infine detta biunivoca (o anche biiettiva o bijettiva) se è iniettiva e suriettiva; in una corrispondenza biunivoca tra X e Y a ogni elemento di X è associato esattamente un elemento di Y e, viceversa, a ogni elemento di Y è associato uno e un solo elemento di X. Una corrispondenza può sempre essere resa suriettiva: è sufficiente per questo restringerne il codominio all’immagine. Se sono date una corrispondenza da un insieme X in un insieme Y e una seconda corrispondenza dall’insieme Y in un insieme Z, resta allora determinata una corrispondenza dall’insieme X nell’insieme Z, detta corrispondenza composta (→ corrispondenze, composizione di). Talvolta, come sinonimi di corrispondenza, sono utilizzati il termine relazione (non riservato in tal caso alla corrispondenza tra un insieme e sé stesso) o nel passato, il termine funzione; attualmente, però, si riserva quest’ultimo termine per indicare una corrispondenza univoca.