probabilita, assiomi della
probabilita, assiomi della
probabilità, assiomi della assiomi che definiscono la teoria della probabilità come teoria matematica riconducibile alla teoria della → misura. Tale impostazione assiomatica fu presentata da A.N. Kolmogorov nel 1933 e non ha carattere operativo (non è utilizzabile, cioè, per calcolare la probabilità di un evento); rispetto a tali assiomi della probabilità le diverse definizioni di → probabilità (classica o a priori, frequentista o a posteriori, soggettivista) si caratterizzano come modelli che, applicati a contesti diversi, ne permettono il calcolo.
Per enunciare tali assiomi si considera un insieme Ω, che è uno spazio misurabile, ma in questo contesto è detto spazio campionario oppure insieme universo o, ancora, spazio degli eventi, dotato di una famiglia di sottoinsiemi Ei, detti eventi. In tale spazio è definita una funzione di probabilità P che a ogni evento E associa un numero reale, secondo i seguenti assiomi:
a) la probabilità assegnata a ogni evento E è un numero reale maggiore di o uguale a 0:
b) la probabilità dell’intero spazio degli eventi rappresenta l’evento certo e la sua probabilità è uguale a 1, cioè P(Ω) = 1;
c) dati n eventi E1, …, En, sottoinsiemi dello spazio Ω a due a due disgiunti (e quindi rappresentanti eventi incompatibili), la probabilità della loro unione è la somma delle probabilità degli eventi dell’unione; si ha cioè: ∀i, j = 1, …, n, con i ≠ j,
d) vale inoltre un principio di monotonia:
Inoltre, dato un evento E, sottoinsieme dello spazio Ω, il suo sottoinsieme complementare rispetto a Ω definisce l’evento complementare di E, indicato con Ē (E soprasegnato). Se la probabilità dell’evento E è P(E) = p, la probabilità del suo complementare è P(Ē) = 1 – p. Di conseguenza, la probabilità dell’evento detto evento impossibile, che è il complementare dell’evento certo ed è associato al sottoinsieme vuoto ∅ dello spazio Ω, è P(∅) = 0.
Con gli assiomi precedenti lo spazio degli eventi assume anche il nome di spazio di probabilità. Se per esempio si lancia un dado, lo spazio degli eventi è: Ω = {1, 2, …, 6}, mentre, se si osserva il tempo intercorrente fra due chiamate successive a un centralino, si ha: Ω = {X : X ≥ 0}. Nel primo esempio lo spazio è un insieme discreto e contiene un numero finito di punti; nel secondo esempio lo spazio Ω è un insieme continuo. In quest’ultimo caso, anziché la probabilità puntuale si considera la densità di probabilità (→ probabilità, densità di). Per esempio, ci si può chiedere quale sia la probabilità che il tempo tra due chiamate successive al centralino sia minore di 5 minuti e la probabilità di tale evento sarà indicata con P(0 ≤ X < 5). Partendo dagli assiomi precedenti, è possibile costruire per mezzo di sole deduzioni logiche la teoria matematica della probabilità e dedurne importanti teoremi quali per esempio il teorema della → probabilità totale; il teorema della → probabilità composta; il teorema di → Bayes.
Va sottolineato che, se l’insieme universo Ω non ha cardinalità finita, non è opportuno considerare tutti i sottoinsiemi di Ω, cioè il suo insieme delle parti, ma è sufficiente limitarsi a una sua sottoclasse che costituisca un’algebra di insiemi o una σ-algebra (→ sigma-algebra).